走向無(wú)窮大及其之外

　　“無(wú)窮大！任何一個(gè)其他問(wèn)題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個(gè)其他觀點(diǎn)都不曾如此有效地激勵(lì)人類的智力；然而，沒(méi)有任何概念比無(wú)窮大更需要澄清……”
　　
　　有一個(gè)故事?lián)�說(shuō)出自杰出的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特之口，上述引語(yǔ)就是他說(shuō)的。一天夜里已經(jīng)很晚了，一個(gè)人走進(jìn)一家旅館想要一個(gè)房間。店主回答說(shuō)：“對(duì)不起，我們沒(méi)有任何空位子了，但是讓我們看一看，或許我最終能為您找到一個(gè)房間。”然后店主離開(kāi)了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且請(qǐng)他們換一換房間：1號(hào)房間的房客搬到了2號(hào)房間，2號(hào)房間的房客搬到了3號(hào)房間，以此類推直到每一位房客都從一個(gè)房間搬到了下一個(gè)房間為止。令這位遲來(lái)者感到十分吃驚的是，1號(hào)房間竟然被騰了出來(lái)。很很高興地搬了進(jìn)去，然后安頓下來(lái)過(guò)夜。但是，一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題使他無(wú)法入睡：為什么僅僅通過(guò)讓房客從一個(gè)房間搬到另一個(gè)房間，第一個(gè)房間就能騰出來(lái)呢？(要知道，他來(lái)時(shí)所有的房間都人了。)后來(lái)我們的這位客人漸漸地找到了答案：這所旅館一定是希爾伯特的旅館，它是城里一個(gè)據(jù)認(rèn)為有無(wú)數(shù)個(gè)房間的旅館！通過(guò)使所有房客都從一個(gè)房間搬到另一個(gè)房間，1號(hào)房間便被騰了出來(lái)。
　　
　　這個(gè)著名的軼事在某種程度上講出了無(wú)窮大的全部故事。這個(gè)故事所涉及的引起人們好奇的悖論和看似不可能的情況，曾使人類困惑了兩千余年。這些悖論都源自數(shù)學(xué)，而且正是這門學(xué)科為最后解決這些悖論提供了最成功的途徑。對(duì)無(wú)窮大的澄清和非神秘化僅僅是在本世紀(jì)才全部完成的，而且即使是這種功績(jī)也不能說(shuō)是登峰造極。與各門學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)的周圍也有一種因不完事而帶來(lái)的清爽空氣；一種神秘剛被破解，另一咱新的神秘早已滲入其中。得到對(duì)科學(xué)的絕對(duì)的和最終的理解，是一個(gè)難以捉摸的目標(biāo)，然而正是這種難以捉摸才使得對(duì)任何一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的研究都那么富有刺激性，當(dāng)然數(shù)學(xué)也不例外。
　　
　　很多思想家都研究過(guò)無(wú)窮大。古希臘的哲學(xué)家們就一條線段(或者就任何數(shù)量而言)，是不是可無(wú)限地被分割，或者說(shuō)是不是可以最終得到一個(gè)不可分割的點(diǎn)(即“原子”)等問(wèn)題，展開(kāi)了無(wú)休止的爭(zhēng)論。他們的現(xiàn)代追隨者——物理學(xué)家們今天仍然還在設(shè)法解決同一個(gè)問(wèn)題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”——那些構(gòu)成整個(gè)宇宙的基本磚塊。天文學(xué)家一直在從另一個(gè)極端的——無(wú)限廣闊的——尺度上思索著無(wú)窮大問(wèn)題。我們的宇宙真像它所呈現(xiàn)在任何于晴朗的黑夜觀看天空的人們面前那樣無(wú)窮無(wú)盡，或是它有一個(gè)邊界(在這個(gè)邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對(duì)我們常識(shí)的一種挑戰(zhàn)。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠(yuǎn)也到不了“邊”，這個(gè)事實(shí)不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當(dāng)研究無(wú)窮大時(shí)，“常識(shí)”是一個(gè)非常差勁的向?qū)В?br /> 　　
　　藝術(shù)家也對(duì)無(wú)窮大進(jìn)行了研究，他們?cè)诋?huà)布上以線條描繪出了無(wú)窮大，而這些畫(huà)布和線條成了寶貴的藝術(shù)財(cái)富。……但是不管我們用什么方法考察無(wú)窮大，我們最終都被帶回到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，因?yàn)檎�是在這里才有無(wú)窮大概念最深的根基。一種觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)就是關(guān)于無(wú)窮大的科學(xué)。
　　
　　我第一次遇到無(wú)窮大時(shí)還是個(gè)小男孩。別人給了我一本書(shū)，這本書(shū)是猶太教法典中的傳說(shuō)部分，講的是出埃及記的故事。書(shū)的封面上是一幅畫(huà)，畫(huà)中的一個(gè)小男孩手中拿著一本與該書(shū)相同的書(shū)。當(dāng)我他細(xì)看時(shí)，可以看到在小男孩拿的那本小書(shū)的封面上還是相同的畫(huà)�？赡苓@幅畫(huà)又出現(xiàn)在畫(huà)中的畫(huà)里面——我記不太清楚了。但是我確實(shí)記得，當(dāng)時(shí)我頭腦中的那個(gè)想法就是：如果有可能繼續(xù)這一過(guò)程，那么它將永遠(yuǎn)繼續(xù)下去！這種可能性十分有趣；當(dāng)時(shí)我還不知道，一個(gè)那時(shí)還不太出名的荷蘭畫(huà)家毛里茨·C·埃舍爾已對(duì)這種觀念很著迷，并且在他的作品中把這種觀念表達(dá)了出來(lái)，從而把這個(gè)過(guò)程實(shí)話到使用繪畫(huà)工具能夠達(dá)到的最大限度。
　　
　　在本書(shū)中，我將試圖與讀者分享無(wú)窮大給所有時(shí)代的人們所帶來(lái)的興奮和敬畏。書(shū)名《無(wú)窮之旅》，其原意是“走向無(wú)窮大及其之外”，取自一本望遠(yuǎn)鏡說(shuō)明書(shū)，它列出了這臺(tái)儀器的很多性能，其中包括如下內(nèi)容：“您的望遠(yuǎn)鏡的聚焦范圍從十五英尺到無(wú)窮大及其之外。”正如本書(shū)的副標(biāo)題“關(guān)于無(wú)窮大的文化史”所顯示的那樣，我的目的是說(shuō)明無(wú)窮大在各個(gè)時(shí)期的故事，但不是一定按照一個(gè)嚴(yán)格的時(shí)間順序。我講的故事在很大程度上是一個(gè)學(xué)科的故事——故事是從一個(gè)數(shù)學(xué)家的角度講述的。這就意味著我必須面對(duì)每一個(gè)科學(xué)家在為受過(guò)教育的外行寫(xiě)書(shū)時(shí)所面臨的同一種困境：如何在兼顧他的同行希望他應(yīng)堅(jiān)持的嚴(yán)謹(jǐn)標(biāo)準(zhǔn)的同時(shí)，用外行能夠理解的語(yǔ)文表達(dá)作者的意思。這種困境在數(shù)學(xué)中尤其嚴(yán)重，因?yàn)閿?shù)學(xué)幾乎完全依賴于符號(hào)和方程的非文字語(yǔ)言。我希望我在以適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q這個(gè)問(wèn)題方面是成功的。